Tổng hợp các công thức tính diện tích tam giác đầy đủ, chi tiết

Diện tích tam giác là một trong những công thức toán học quan trọng sẽ theo các bạn học sinh từ lớp 5 đến lớp 12. Tuy nhiên, vì hình tam giác có nhiều loại khác nhau nên lượng công thức tính diện tích cũng sẽ nhiều hơn. Do đó, để giúp các bạn dễ dàng học và ghi nhớ kiến thức này, Trường mầm non Montessori - Sakura Montessori sẽ tổng hợp các công thức tính diện tích tam giác đầy đủ, chi tiết qua bài viết dưới đây.

Hình tam giác là hình gì? Tính chất của hình tam giác

Hình tam giác là hình có 2 chiều phẳng với 3 đỉnh là 3 điểm không thẳng hàng, đồng thời có 3 cạnh là 3 đoạn thẳng nối các đỉnh lại với nhau. Bên cạnh đó, tam giác còn được biết tới là hình đa giác có số cạnh ít nhất, đồng thời cũng là đa giác đơn và đa giác lồi với các góc trong luôn nhỏ hơn 180°.

>> Xem thêm: Bảng chữ cái tiếng Việt cho bé

Trong toán học hiện nay, hình tam giác được chia thành nhiều loại khác nhau. Để phân loại, chúng ta có thể dựa vào:

• Độ dài các cạnh bao gồm: tam giác thường, tam giác cân và tam giác đều.
• Số đo các góc trong bao gồm: tam giác vuông, tam giác tù, tam giác nhọn và tam giác vuông cân.

Tương tự như các hình học khác, hình tam giác cũng có một số tính chất nhất định mà các bạn cần nắm đó là:

• Tổng các góc trong của tam giác có tổng bằng 180°.
• Trong hình tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn sẽ là cạnh lớn hơn và ngược lại.
• Trọng tâm của tam giác chính là điểm giao nhau của 3 đường trung tuyến.
• Tâm đường tròn nội tiếp của hình tam giác chính là điểm giao nhau của 3 đường phân giác.
• Tâm đường tròn ngoại tiếp của hình tam giác chính là điểm giao nhau của 3 đường trung trực.
• Tỷ lệ giữa độ dài của mỗi cạnh tam giác với sin của góc đối diện là như nhau.
• Đường phân giác trong tam giác của 1 góc sẽ chia cạnh đối diện thành 2 đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn thẳng đó.
• Hiệu độ dài của hai cạnh tam giác luôn nhỏ hơn độ dài mỗi cạnh và nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh.
• Trực tâm của tam giác chính là điểm giao nhau của 3 đường cao.
• Bình phương độ dài 1 cạnh tam giác bằng tổng bình phương độ dài 2 cạnh còn lại trừ đi 2 lần tích của độ dài 2 cạnh đó với cosin của góc xen giữa 2 cạnh đó.
• Đường trung bình của hình tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh.

6 công thức tính diện tích hình tam giác kèm ví dụ minh họa

Mỗi hình tam giác sẽ có cách tính diện tích khác nhau. Dưới đây là công thức và ví dụ cụ thể để các bạn học sinh dễ hiểu và nhớ lâu hơn:

1. Công thức tính diện tích tam giác thường chính xác

• Định nghĩa: Tam giác thường là hình tam giác có độ dài các cạnh khác nhau, đồng thời số đo các góc cũng khác nhau.
• Công thức: Diện tích hình tam giác thường được tính bằng ½ tích của chiều cao hạ từ đỉnh với độ dài cạnh đối diện với đỉnh đó.

Ví dụ minh họa: Một tam giác thường có độ dài cạnh đáy là 5cm và chiều cao là 2.4cm. Áp dụng công thức trên, S = (5 x 2.4)/2 = 6 cm².

2. Công thức tính diện tích tam giác cân kèm ví dụ

• Định nghĩa: Tam giác cân là hình tam giác có 2 cạnh bằng nhau.
• Công thức: Diện tích hình tam giác cân được tính bằng tích của chiều cao nối từ đỉnh tam giác đó tới cạnh đáy tam giác, sau đó đem chia cho 2.

Ví dụ minh họa: Một tam giác cân có độ dài cạnh đáy là 5cm và chiều cao là 3.2cm. Áp dụng công thức trên, S = (5 x 3.2)/2 = 8 cm².

3. Công thức tính diện tích tam giác đều chi tiết

• Định nghĩa: Tam giác đều là loại tam giác có 3 cạnh bằng nhau.
• Công thức: S tam giác đều được tính bằng tích của chiều cao với cạnh đó, sau đó đem chia với 2.

Ví dụ minh họa: Một tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 4cm và chiều cao là 5cm. Áp dụng công thức trên, S = (4 x 5)/2 = 10 cm².

4. Công thức tính diện tích tam giác vuông có ví dụ

• Định nghĩa: Tam giác vuông là hình tam giác có một góc vuông 90°.
• Công thức: Diện tích hình tam giác vuông được tính bằng ½ tích của chiều cao với chiều dài cạnh đáy. Tuy nhiên, vì loại tam giác này có 2 cạnh góc vuông nên chiều cao sẽ ứng với 1 cạnh góc vuông, còn chiều dài đáy sẽ ứng với cạnh góc vuông còn lại.

Ví dụ minh họa: Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là 6cm và 8cm. Áp dụng công thức trên ta có diện tích hình tam giác vuông là: (6 x 8)/2 = 24 cm².

5. Công thức tính diện tích tam giác vuông cân chính xác

• Định nghĩa: Tam giác vuông cân là hình tam giác vừa vuông vừa cân.
• Công thức: Dựa vào công thức tính tam giác vuông cho tam giác vuông cân với chiều cao và cạnh đó bằng nhau, diện tích được tính là: S = a²/2.

Ví dụ minh họa: Một tam giác vuông cân ABC tại A, có AB = AC = 10cm. Áp dụng công thức trên ta có S = (10²/2) = 50cm².

6. Công thức tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz bạn nên biết

Ví dụ minh họa: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;2;1), B(2;-1;3), C(5;2;-3). Áp dụng công thức trên ta có lời giải:

Ta có →AB = (1;−3;3), →AC = (4;0;−4)

=> S = ½ [→AB, →AC] = (∣−3034∣;−∣143−4∣;∣14−30∣) = (−12;16;−12)

Hướng dẫn cách tính diện tích hình tam giác theo các thông tin có sẵn

Không phải bài toán tính S tam giác nào cũng có sẵn các thông số tương ứng với công thức chung mà yêu cầu các bạn cần phải tư duy và tính toán. Dưới đây là một số dạng toán tính diện tích hình tam giác phổ biến nhất:

1. Tính diện tích hình tam giác biết cạnh đáy và chiều cao

Với bài toán tính S tam giác cho biết cạnh đáy và chiều cao, bạn có thể áp dụng công thức một nửa chiều cao nhân với cạnh đáy tương ứng chiếu lên.

2. Tính diện tích hình tam giác biết chiều dài các cạnh

Đối với bài toán chỉ có thông tin về chiều dài các cạnh, bạn có thể tính diện tích hình tam giác theo hướng dẫn dưới đây:

• Bước 1: Tính nửa chu vi tam giác bằng cách cộng chiều dài 3 cạnh với nhau rồi nhân với ½.
• Bước 2: Áp dụng công thức Heron để tính theo nửa chu vi và chiều dài các cạnh với công thức: S = √p x (p - a) x (p - b) x (p - c).

3. Tính diện tích hình tam giác đều biết một cạnh của tam giác

Về bản chất, tam giác đều có 3 cạnh và 3 góc bằng nhau. Do đó, bài toán cho biết chiều dài của cạnh sẽ giúp bạn có thể suy luận ra chiều dài của cả 3 cạnh. Sau đó, bạn hãy sử dụng công thức tính diện tích bằng (bình phương của chiều dài 1 cạnh tam giác đều) nhân với (căn 3 chia 4).

4. Sử dụng hàm lượng giác

Với bài toán đã cho thông tin là hai cạnh kề nhau và góc tạo bởi chúng, bạn có thể thiết lập hàm công thức lượng giác để tính diện tích hình tam giác sau đây: Diện tích = (tích hai cạnh kề của tam giác chia 2) nhân với sin góc nằm giữa 2 cạnh đó.

5. Cách tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz cụ thể

Với hệ tọa độ Oxyz, bạn có thể áp dụng công thức sau để tính diện tích hình tam giác: S_ABC = ½ [→AB;→AC].

Trong đó [→AB;→AC] sẽ được tính như sau:

Gọi tọa độ điểm A là A (a₁, b₁, c₁);

Tọa độ điểm B là B (a₂, b₂, c₂);

Tọa độ điểm C là C (a₃, b₃, c₃).

Theo đó, AB = (a₂-a₁; b₂-b₁; c₂-c₁); AC = (a₃-a₁; b₃-b₁; c₃-c₁).

Từ đó ta có cách tính: [→AB;→AC]= ( b₂−b₁ c₂−c₁) (b₃−b₁ c₃−c₁); (c₂−c₁ a₂−a₁ c₃−c₁ a₃−a₁; (a₂−a₁ b₂−b₁ a₃−a₁ b₃−b₁)

Sau đó bạn hãy trừ chéo từng biểu thức cho nhau sẽ có được kết quả của [→AB;→AC] là tọa độ gồm 3 điểm nhé.

6. Tính diện tích tam giác dựa vào chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp

Với đề bài đã cho biết chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp, bạn có thể tìm ra diện tích hình tam giác bằng cách: Lấy nửa chu vi tam giác nhân với bán kính đường tròn nội tiếp.

7. Tính theo độ dài 3 cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp

Với bài toán cho sẵn độ dài 3 cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp, bạn có thể tính diện tích hình tam giác bằng công thức: tích chiều dài 3 cạnh đem chia cho 4 lần bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Bài tập tính diện tích tam giác cho bé kèm lời giải

1. Bài tập 1

• Bài toán: Tính diện tích hình tam giác với độ dài đáy là 5m và chiều cao là 24dm.
• Lời giải: Đầu tiên, bạn hãy quy đổi chiều cao 24dm = 2.4m. Sau đó áp dụng công thức, ta có diện tích hình tam giác bằng: S = (5×2.4)/2 = 6m².

2. Bài tập 2

• Bài toán: Cho tam giác ABC có cạnh BC = 7m, cạnh AB = 5m và góc B bằng 60 độ. Hãy tính diện tích hình tam giác ABC trong trường hợp này.
• Lời giải: Ta có, S_ABC = ½ x 7 x 5 x sin 60° = (35√3)/4

3. Bài tập 3

• Bài toán: Cho tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng 6cm và đường cao bằng 7cm, hãy tính diện tích hình tam giác.
• Lời giải: Diện tích hình tam giác cân được tính bằng: (6 x 7)/2 = 21cm².

4. Bài tập 4

• Bài toán: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm D (1;2;1), E (2;-1;3), F (5;2;-3). Yêu cầu bạn hãy tính diện tích của tam giác trong hệ tọa độ.
• Lời giải: Ta có, DE = (1; -3; 2); DF = (4; 0; -4)

Suy ra, [DE;DF]= ( −3 2 0 −4 ; 2 1 −4 4 ; 1 −3 4 0 ) = (10; 12; 13)

S