Số Phức Liên Hợp: Khám Phá Từ Khái Niệm Đến Ứng Dụng

Khi nhắc đến số phức, một khái niệm không thể thiếu trong toán học là số phức liên hợp. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn cái nhìn tổng quan và chi tiết về số phức liên hợp, từ định nghĩa đến tính chất, cách tìm, và ứng dụng trong các bài tập. Hãy cùng khám phá!

1. Số Phức Liên Hợp Là Gì?

Số phức được viết dưới dạng: Z = a + bi, trong đó a là phần thực và b là phần ảo. Số phức liên hợp của Z, ký hiệu là ̄Z, được định nghĩa là: ̄Z = a - bi.

Ví dụ, nếu bạn có số phức Z = 3 + 4i, thì số phức liên hợp sẽ là ̄Z = 3 - 4i.

2. Tính Chất Của Số Phức Liên Hợp

Có một số tính chất cơ bản của số phức liên hợp mà bạn cần ghi nhớ:

• Z × ̄Z = a² + b² là một số thực.

• Z + ̄Z = 2a cũng là một số thực.

• ̄{Z + Z'} = ̄Z + ̄Z'.

• ̄{Z × Z'} = ̄Z × ̄Z'.

Những tính chất này giúp bạn dễ dàng làm việc với số phức liên hợp trong các bài toán phức tạp hơn.

3. Cách Tìm Số Phức Liên Hợp Chi Tiết Nhất

Để tìm số phức liên hợp của một số phức z = a + bi, bạn chỉ cần đổi dấu của phần ảo:

̄Z = a - bi.

Kết quả:

• ̄Z = Z và |̄Z| = |Z|.

• ̄{Z₁ × Z₂} = |̄Z₁| × |̄Z₂|.

• ̄{Z₁ ± Z₂} = |̄Z₁| ± |̄Z₂|.

• ̄{\frac{Z₁}{Z₂}} = \frac{̄Z₁}{̄Z₂}.

Trong đó:

• Z là số thực khi Z = ̄Z.

• Z là số thuần ảo khi Z = -̄Z.

4. Cách Bấm Số Phức Liên Hợp Trên Máy Tính Casio

Khi làm việc với số phức trên máy tính Casio, bạn có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và tính modun của số phức liên hợp như sau:

• Chọn chế độ Deg rồi nhấn Mode 2 để hiển thị chế độ số phức.

• Màn hình máy tính sẽ xuất hiện chữ “i” và hiển thị nút ENG. Bạn thực hiện các phép tính như bình thường.

• Để tính modun của số phức, ấn Shift + Hyp. Màn hình sẽ xuất hiện dấu trị tuyệt đối, nhập biểu thức và tính như bình thường.

Ví dụ:

Giả sử bạn muốn tìm căn bậc hai của số phức liên hợp. Bạn có thể thực hiện theo các bước sau:

Cách 1: Để máy tính ở chế độ Deg và chuyển sang Mode 1, sau đó ấn Shift + . Tiếp tục nhập Pol và ấn “=”. Sau đó chọn Rec (x, y: 2) rồi ấn “=”. Máy tính sẽ hiển thị phần thực và phần ảo của số phức cần tìm.

Cách 2: Lấy kết quả rồi bình phương nó lên để xem số nào sẽ trùng với dữ liệu đề bài. Cách này chỉ nên dùng khi bạn muốn kiểm tra lại kết quả sau khi đã tìm ra đáp án.

5. Một Số Bài Tập Tìm Số Phức Liên Hợp và Phương Pháp Giải

Câu 1:

Cho số phức Z = 1 + 3i. Tìm số phức ̄Z.

Giải:

Ta có: Z = 1 + 3i &#xRightarrow; ̄Z = 1 - 3i.

Câu 2:

Cho số phức Z = -2 - 5i. Tìm số thực a và phần ảo b của số phức Z.

Giải:

Ta có: Z = a + bi &#xRightarrow; ̄Z = a - bi

Nên ̄Z = -2 + 5i.

Vậy phần thực a = -2, phần ảo b = 5.

Câu 3:

Tìm số phức liên hợp của số phức Z = \frac{1 + i}{2 - i}.

Giải:

Ta có: Z = \frac{1 + i}{2 - i} = \frac{(1 + i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{1 + 3i}{2^{2} - i^{2}} = \frac{1}{5} + \frac{3}{5}i

&#xRightarrow; |̄Z| = \frac{1}{5} + \frac{3}{5}i.

Câu 4:

Cho số phức Z = 3 + 4i. Tìm phần thực a và phần ảo b của số phức ̄Z.

Giải:

Ta có:

Z = a + bi &#xRightarrow; ̄Z = a - bi.

&#xRightarrow; ̄Z = 3 - 4i.

Vậy phần thực a = 3 và phần ảo b = -4.

Câu 5:

Tìm số phức liên hợp của số phức Z = (1+i)(3-2i)+ \frac{1}{2 + i}.

Giải:

Ta có:

Z = (1+i)(3-2i)+ \frac{1}{2 + i} = (3-2i+ 3i+2) + \frac{2 - i}{(2 + i)(2 - i)} = 5+i+ \frac{2 - i}{5} = \frac{27 + 4i}{5}

&#xRightarrow; ̄Z = \frac{27}{5} - \frac{4}{5}i.

Câu 6:

Tìm số phức Z thỏa mãn Z - (2 + 3i), ̄Z = 1 - 9i.

Giải:

Gọi Z = a + bi.

Ta có: Z - (2 + 3i), ̄Z = 1 - 9i.

&#xRightarrow; a + bi - 2a + 2bi - 3ai - 3b = i - 9i.

&#xRightarrow; -a - 3b = 1 hoặc -3a + 3b = -9.

&#xRightarrow; a = 2 hoặc b = -1.

Câu 7:

Tìm phần ảo của số phức Z thỏa mãn Z + 2, ̄Z = (2 - i)²(1 - i).

Giải:

Đặt Z = x + yi. Ta có:

Z + 2̄Z = (2 - i)³(1 - i).

&#xRightarrow; x + yi + 2(x - yi) = -9 - 13i.

&#xRightarrow; 3x = -9 hoặc -y = -13.

&#xRightarrow; x = -3 hoặc y = 13.

Để hiểu rõ hơn về lý thuyết chung của số phức và cách giải các bài tập liên quan đến số phức liên hợp, bạn có thể theo dõi các bài giảng online hoặc tham khảo tài liệu học tập tại các trang web uy tín.

Tham Khảo Thêm

• Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

• Lý thuyết số phức và cách giải các dạng bài tập cơ bản

• Tổng ôn tập số phức - full lý thuyết và bài tập

• Đầy đủ lý thuyết và bài tập số phức modun

Trên đây là toàn bộ kiến thức về số phức liên hợp, từ định nghĩa đến ứng dụng và bài tập. Hãy thường xuyên luyện tập để củng cố kiến thức và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới. Chúc bạn học tốt!